高尔顿板的结构

时隔多年,或许你早就记不得岁那年夏天高中闷热的教室,但可能会记得有一天数学老师说着要给大伙看个稀奇——一块祖传的高尔顿板。尽管班上大多数同学都叫不出它的名字,却也从小到大在科技馆、博物馆见多了,一点都提不起劲儿。老师一本正经地开始讲,
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从最上方的节点往下,是几排交错排列的钉子。从入口扔下的小球撞上一个钉子,就像触网的乒乓球一样,弹向左边和右边的概率相等。咦?这不就是老早学过的杨辉三角吗?最上方只有一种可能,下降之后,左右两边比例变成,继续这个步骤,第行的比例系数其实就是次二项式的展开系数或者。正因如此,这种分布被称为二项分布。

二项式系数看起来与正态分布风马牛不相及,但是从高尔顿板的实验看来,要是增加钉子的层数和底部的格子数(也就是增加),那么二项分布将逼近于正态分布:

为什么一个离散的分布会跟一个连续的分布扯上关系呢?这个结论最早由法国数学家棣莫弗在1738年证明,他发现,如果不断地抛一枚硬币,那么得到的正面次数服从二项分布,只要抛得次数够多,那最终将逼近正态分布。也就是说,假如赌博胜和负的概率是对半分的,那么赌博次的盈亏最终就是上面这个分布。

不过这一结论在当时并没有引起重视,毕竟并不是所有赌徒都能像梅雷一样交上帕斯卡这样的朋友。百年之后,拉普拉斯试图挽救这个定理的人气,依然没有成功。为了纪念这对“难兄难弟”,现在人们把这个定理称为棣莫弗-拉普拉斯定理。

这种逼近的本质究竟是什么呢?我们看到,不管是高尔顿板,还是多次赌博,二项分布拆成每一步都是简单的概率事件。那么就可以说,二项分布是这样的一步一步“加”起来的。

如果是比更复杂的分布,把它们大量加起来是否仍然有类似的性质呢?高斯等人在研究实验物理学时发现,如果对一个物理量进行多次测量,最终的测量误差总是像这样的:

在物理学中,误差来自于无关因素的微小扰动。这些扰动加起来,就是整体的误差。这个整体误差虽然层次不齐,但形状与正态分布还是大致吻合的。从那以后,实验的误差一般都当作是正态分布。为了纪念高斯的贡献,也把正态分布称为高斯分布。

至此,我们已经大概能想象到,正态分布的逼近与这种“加”的性质有关,剩下证明就是数学家的事了。如今,我们把这一系列逼近正态分布的性质称为“中心极限定理”,结论从最初的二项分布,已经扩展到了任意分布(包括同分布和不同分布)的广阔天地。就如同上一段中的误差——即便我们对微观下的扰动一无所知,也能通过这种极限形式,了解大样本下的整体行为。

应用这一思想的最为经典的例子当属统计力学。假如有一大堆粒子,每个都杂乱无章地运动,我们自然无从知晓每一个粒子的运动状况。不过,如果把每一个粒子的动量当作是一个随机分布的话,那就可以把所有这些分布“加”起来当做整体的动量。如此一来,中心极限定理岂不是大有用处?

的确如此。如果对理想气体应用中心极限定理,得到的正是大名鼎鼎的麦克斯韦速度分布:

这正是均值为,方差为的正态分布。结论并不出乎意料,毕竟速度是矢量,并没有明显的方向取向,所以均值是。方差的意义略微复杂一些,就此略过,不过可以直观地理解:对于温度越高,粒子质量越小的气体,其速度就越不稳定。

要想得到速率(速度大小)的分布,只需要考虑速度分布这个三维空间中的一个球壳就行了。即是说,在上面那个式子基础上乘

物理学中一般是用玻尔兹曼分布来推导麦克斯韦分布的,但玻尔兹曼分布本身也可以用中心极限定理间接推导出来。之所以说是间接,只需要看它的形式

这根本不是正态分布。归根结底,能量的分布在这里不能相加,但在推导过程中,还是能见到正态分布。具体操作会稍微复杂一些,这里就不扯远了。

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